二次函数判别式解析(二次函数的判别式的原理)

一、函数与方程思想：

1、函数思想：

把问题中的量分为变量和常量，并把这些量用字母表示；将量与量之间的关系，抽象、概括为函数模型；用运动、变化和对应的观点，通过对函数模型的研究，利用函数的性质，使问题获得解决。

2、方程思想：

把问题中的量分为已知量和未知量，并把这些量用字母表示；将问题中的条件，量与量之间的关系列为方程或不等式；通过解方程、不等式，或利用方程、不等式的性质，使问题获得解决。

二、判别式法

代数判别式 （△ 法）和 三角判别法 （δ 法），它们是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 和三角方程 asinx + bcosx = c 的根的判别定理。

1、代数判别式法（△ 法）

设 f（x）= ax^2 + bx + c （a ≠ 0），则 △ = b^2 – 4ac 叫做二次方程 f（x）= 0 或二次函数 f（x）的判别式。

判别定理：实系数二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）根的情况分类如下：

① △ ＞ 0 等价于 有两个不相等的实数根；② △ = 0 等价于 有两个相等的实数根；③ △ ＜ 0 等价于 有共轭二虚根 。

应用判别式 △ 解题的方法叫做 代数判别式法，简记为 △ 法 。

2、三角判别法 （δ 法）

δ = a^2 + b^2 – c^2 叫作三角方程 asinx + bcosx = c （a^2 + b^2 ≠ 0）的判别式 。

判别定理：三角方程 asinx + bcosx = c （a^2 + b^2 ≠ 0）在 x ∈ R 上有解得情况分类如下：

① 有两条解终边 等价于 δ ＞ 0 ；② 有一条解终边 等价于 δ = 0 ；③ 没有实数解 等价于 δ ＜ 0 。

应用三角判别式 δ 或根据 ∣sinx∣≤ 1 , ∣cosx∣≤ 1 解题的方法叫做三角判别法（δ法）。

三、典型例题

例题1、设 a , b 满足 ：① a , b ∈ N , ② （2 – 2i）x^2 – （5 + 3i）x + a^2 – b^2 i = 0 有实数根 。

求 a , b 的值 。

解：设已知方程的实数根为 k ，则有：

（2 – 2i）k^2 – （5 + 3i）k + a^2 – b^2 i = 0

等价于 （2k^2 – 5k + a^2）+ （-2k^2 – 3k – b^2）i = 0 ;

等价于 2k^2 – 5k + a^2 = 0 且 -2k^2 – 3k – b^2 = 0 ;

等价于 △1 = 25 – 8a^2 ≥ 0 且 △2 = 9 – 8b^2 ≥ 0 ;

等价于 a^2 ≤ 25/8 且 b^2 ≤ 9/8 。

∵ ① a , b ∈ N

∴ a = 1 , b = 1 。

例题2、已知 a + 2b + ab = 30 ， 且 a 0 , b 0 ，试求：实数 a, b 为何值时 ， ab 取得最大值 ？

解题思路：构造关于 a 的二次方程，应用 △a 法。

解：① 设 ab = y , ② 由 已知 a + 2b + ab = 30 ， ①②联立消去 b ，对 a 整理得 ：

a^2 + ( y – 30 ) a + 2y = 0 ③ ；

△a = ( y – 30 ) ^2 – 4 × 2y ≥ 0 ;

等价于 y^2 – 68y + 900 ≥ 0

∴ y ≥ 50 或 y ≤ 18 由 y = ab < 30 , 舍去 y ≥ 50 ，得 y ≤ 18 。

把 y = 18 代入 ③ ，得 ：a = (30 – y ) ÷ 2 = 6 , 从而 b = 18 ÷ 6 = 3 。

∴ 当 a = 6 , b = 3 时 ， 取得 （ab）max = 18 。

例题3、求函数

例题3图（1）

的值域 。

解 ：原式 等价于 y ( x^2 + x + 1 ) = x^2 – x + 1 ;

等价于 ( y – 1 ) x^2 + ( y + 1 ) x + y – 1 = 0 ① ;

当 y ≠ 1 时 ， △x = (y + 1 ) ^2 – 4( y – 1 ) ^2 ≥ 0 解得 1/3 ≤ y ≤ 3 ( y ≠ 1) 。

当 y = 1 时 ， 方程 ① 化为 2x = 0 , 即 x = 0 , 故有 y = 1 。

综上，函数的值域为 【1/3 , 3】。

例题4、求函数

例题4图（1）

的值域 。

解：原式等价于 y ( 1 – cosx） = sinx – 4cosx

将上式化为关于 sinx , cosx 的三角方程 ：

sinx + (y – 4 ) cosx = y

δx = 1^2 + (y – 4 )^2 – y^2 ≥ 0 ;

等价于 17 – 8y ≥ 0 ,

解得函数 y 的值域 ：（- ∞ ， 17/8 ] 。

例题5、求双曲线

例题5图（1）

经过点 （-3,2）的切线方程 。

解题思路：

把双曲线的参数方程代入切线的普通方程，构造三角方程，用三角判别法 。

解：设所求切线方程为 y – 2 = k ( x + 3 ) , ①

双曲线的参数方程是

例题5图（2）

把 ② 代入 ① 得 ：

3 tanθ – 2 = k ( 4 secθ + 3 ) ;

整理，得 3 sinθ – ( 2 + 3k ) cosθ = 4k ③ ;

由相切 等价于 δ = 0 ， 即

3^2 + ( 2 + 3k )^2 – (4k)^2 = 0

解得 k = 1/7 ( 6 ± √127 ) ，

代入 ① ， 故所求切线方程为 ：

y – 2 = 1/7 ( 6 ± √127 ) ( x + 3 )