r是什么数集(数集是怎么定义的)

第五讲 函数的概念

定义1

D与M是R中的非空数集，若有对应法则f，使D内的每一个数X，都有唯一的一个数y∈M与它相对应，则称f是定义在D上的函数，记作 f : D-m, x-y

D称为f的定义域；f（D）={y|y=f（x），x∈D}称为f的值域；G={（x，y）|y=f（x），x∈D}称为f的图像。

注1 函数有定义域D和对应法则f二要素完全决定，因此若给出函数的定义域和对应法则，就确定了函数，它与自变量和因变量的符号无关。

注2 表示函数有多种方法，常见的有：解析法、数值法和图像法。

解析法表示函数时，若没有特别指明其定义域，则一般约定其定义域为使该解析式有意义的自变量的全体，即存在域。

函数的四则运算

设函数f的定义域为Df，函数g的定义域为Dg：

1.f±g的定义域为Df±g=Df ∩ Dg，且∀x∈Df ∩ Dg，（f±g)(x）=f(x)±g(x);

2.f*g的定义域为Df*g=Df ∩ Dg，且∀x∈Df ∩ Dg，（f*g)(x）=f(x)*g(x);

3.f/g的定义域为Df/g=Df ∩ D*，其中D*={x|x∈Dg，且g（x）不等于0}，且∀x∈Df/g，（f/g)(x）=f(x)/g(x);

复合函数

设函数f的定义域为Df，函数g的定义域为Dg：

复合函数f。g的定义域为Df。g={x|x∈Dg，且g(x)∈Df}，则∀x∈Df。g，f。g(x)=f(g(x)）;

g（x）为内函数，f（x）为外函数

反函数

若函数f的定义域为Df，满足：∀y∈f（D），∃唯一x∈D，使f（x）=y，

则存在函数f-¹，Df-¹=f（D），且∀y∈f（D），f-¹（y）=x，其中x是使f（x）=y的唯一的c∈D。

注 反函数表示式f-¹（y）=x中，y是自变量，x是因变量。由于函数与自变量、因变量的记号无关，因此一般反函数f-¹记为y=f-¹（x）。

反函数与原函数图像关于y=x对称

初等函数

定义1

以下六类函数称为基本初等函数：

（1）常量函数 y=c（c为常数）；

（2）幂函数y=x^a（a为实数）；

（3）指数函数 y=a^x（a0,a不等于1）；

（4）对数函数 y=loga x（a0,a不等于1）；

（5）三角函数 y=sin x，y=cos x，y=tan x，y=cot x；

（6）反三角函数 y=arcsin x，y=arccos x，y=arctan x，y=arccot x；

定义2

定义3

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的的函数，称为初等函数。

狄利克雷函数与黎曼函数是非初等函数。